ولد عزام غريب في مدينة سراقب بمحافظة إدلب عام 1985، ونشأ في مدينة حلب. تخرج في معهد طب الأسنان في جامعة حلب عام 2007، وحصل على درجة الماجستير في كلية الإلهيات بجامعة بنغول (تركيا) عام 2019.
واعتقل غريب بين عامَي 2003 و2005 بتهمة الانتماء إلى الجهادية السلفية، في نهاية عام 2011 انضم إلى حركة أحرار الشام الإسلامية في مدينة حلب حتى عام 2015، حيث أصبح نائب قائد الجبهة الإسلامية التي شكلت تحالفاً كانت حركة أحرار الشام أحد مكوناته الرئيسية.
وفي عام 2017 التحق بالجبهة الشامية وأصبح نائب قائد الفيلق الثالث في الجيش الوطني السوري، وفي 1 حزيران/يونيو 2023 أصبح أبو العز القائد العام للجبهة الشامية خلفاً لقائدها السابق حسام ياسين (أبو ياسين).
وفي 8 ديسمبر/كانون الأول الجاري، سيطرت فصائل سورية على العاصمة دمشق وقبلها مدن أخرى، مع انسحاب قوات النظام من المؤسسات العامة والشوارع، لينتهي بذلك عهد دام 61 عاماً من حكم نظام حزب البعث، و53 سنة من حكم عائلة الأسد.